HudLac

06/08/2009

Espectro

Além da representação de um som digital no domínio do tempo, há outra forma de representação muito útil: no domínio das freqüências. É o chamado espectro.

A figura abaixo mostra duas representações de um mesmo sinal composto por freqüências de 2, 6 e 20 Hz, sendo que o componente de 20 Hz tem metade da amplitude dos outros. Essas informações são facilmente visualizadas no espectro (parte superior da figura). A onda complexa é mostrada no domínio do tempo, na parte inferior da figura.

Análise de Fourier

Jean-Baptiste Joseph Fourier demonstrou que qualquer função periódica pode ser representada como um somatório de ondas senoidais harmônicas, com amplitudes e fases particulares.

Através da transformada de Fourier, pode-se analisar um sinal (no domínio do tempo) em seus componentes de freqüência. Cada componente é um vetor representado como um número complexo: o comprimento do vetor (distância em relação ao ponto (0,0), ou valor absoluto ou módulo) é a amplitude, e seu ângulo de inclinação em relação ao eixo horizontal é a fase.

Espectro de amplitude e espectro de potência

A amplitude de cada componente senoidal é o valor absoluto do número complexo, calculado através do Teorema de Pitágoras:

amp = sqrt(real(x)^2 + imag(x)^2)

Se a operação de raiz quadrada (sqrt) for omitida, obtemos a potência, que nada mais é do que o quadrado da amplitude:

pot = real(x)^2 + imag(x)^2

Espectrograma

Freqüentemente é útil visualizar a evolução do espectro ao longo do tempo, ou seja, ver como as freqüências e amplitudes variam no decorrer do tempo. A essa forma de visualização chamamos espectrograma.

O sinal é dividido em curtos trechos (“janelas”), cujas transformadas de Fourier são apresentadas lado a lado (seqüencialmente) num gráfico. O eixo horizontal é o tempo, o eixo vertical é a freqüência; as amplitudes são representada por cores ou tons de cinza.

Janelas de análise

A transformada de Fourier é definida somente para sons periódicos, o que não é o caso das porções arbitrárias de um som usadas para gerar um espectrograma. Presumindo-se que essa porção do sinal fosse um período completo de onda, a passagem do final de um ciclo para o início de outro provavelmente causaria uma descontinuidade inexistente no sinal. Em conseqüência, o resultado da análise de Fourier, embora exato, não corresponde ao que é intuitivamente “esperado” ou útil.

Para reduzir esse inconveniente, uma técnica comum é multiplicar o trecho do sinal por uma janela de análise apropriada, que cria uma espécie de “fade-in” e “fade-out” no trecho a ser analizado. O início e o final do pseudo-ciclo seriam próximos (ou iguais) a zero, evitando-se a descontinuidade que poderia ocorrer ao se repetir periodicamente essa porção do sinal (o final de um ciclo “emenda-se” melhor com o início de outro ciclo).

Para esse fim (janelamento), costumam ser usadas as janelas de Hamming e de Hann.

Software

Alguns programas que exibem espectros e/ou espectrogramas de sons são: Audacity, Praat, jaaa, snd e Sonic Visualizer.

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